GAMS案例分享：為什么您的業(yè)務需要優(yōu)化

時間：2024-06-14

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在競爭激烈、客戶期望不斷變化的現(xiàn)代商業(yè)動態(tài)中，企業(yè)不斷優(yōu)化運營的需求變得至關重要。無論你是一家剛剛起步的初創(chuàng)企業(yè)還是一家成熟的企業(yè)，接受優(yōu)化哲學都可能是停滯和可持續(xù)增長的區(qū)別。

在這篇博文中，我們深入探究了為什么優(yōu)化你的業(yè)務流程和資源不僅僅是奢侈品，較是長期成功的必要條件。從提高效率和較大限度地提高生產(chǎn)力到較小化成本和有效地分配資源，優(yōu)化的好處是多方面的，影響深遠。

首先，讓我們深入研究一下在汽車制造中為汽車噴漆的例子。此場景可作為優(yōu)化決策所涉及復雜性的實際說明，其中效率和準確性至關重要。

二進制噴漆車間問題

在復雜的汽車制造世界中，生產(chǎn)過程中的每一步都在確保效率和質(zhì)量方面發(fā)揮著至關重要的作用。其中一個關鍵步驟是噴漆，汽車在上路前進行最后的美學處理。想象一個場景，不同類型（A到F）的汽車以特定的順序到達噴漆廠的傳送帶上，如下圖所示：

每輛車都需要涂一層白色或黑色的底漆。

為了簡化這個場景，讓我們考慮一個較小的工作示例：

? 每種車型（A至F）按順序正好到達兩次。

? 每種類型的一輛車必須漆成白色，而另一輛車則必須漆成黑色。

? 到達車輛的順序無法調(diào)整。

? 更改顏色會消耗時間和資源。

這里的目標是較大限度地減少顏色變化的次數(shù)，同時確保每種車型都涂上白色和黑色油漆。該場景概括了所謂的二進制油漆店問題，這是一個經(jīng)典的優(yōu)化問題，說明了企業(yè)在滿足特定約束的同時盡量減少資源使用時面臨的挑戰(zhàn)。

現(xiàn)在，想象一下自己坐在駕駛座上，負責決定哪輛車涂上了白色，哪輛車漆成了黑色。按照代表每種車型的字母順序，制定策略，以盡可能少的顏色變化為每個字母上色，確保每種車型都涂上白色和黑色油漆。

挑戰(zhàn)這個任務的大多數(shù)人通常會得出相同的結論：需要4個顏色的變化。下面是他們通常如何給汽車噴漆：

現(xiàn)在，您的任務是向同事解釋解決方案流程，以指導他們完成挑戰(zhàn)?？紤]他們需要采取哪些步驟來有效地解決這個問題。

以下是我在這項任務中挑戰(zhàn)的大多數(shù)人傾向于制定的一種常見方法：

? 首先將**輛到達的車型涂成白色。

? 盡可能長時間地使用白色油漆，直到**種車型*二次到達。

? 過渡到黑色油漆，并盡可能長時間地使用它。

? 重復這種交替模式，直到每輛車都噴漆。

算法和啟發(fā)式

這種方法我們稱之為貪心算法( Greedy Algorithm )或貪心啟發(fā)式算法( Greedy Heuristic )。貪心算法是求解優(yōu)化問題的一種簡單而直觀的方法。它在每一步都做出一系列局部較優(yōu)選擇，希望找到全局較優(yōu)。換言之，在每一步中，它都會選擇較佳的可用選項，而不考慮未來的后果。貪婪算法通?？焖偾乙子趯崿F(xiàn)，但它們可能并不總是為復雜問題提供較佳解決方案。許多公司已經(jīng)使用了類似的方法，尤其是在Excel工作簿或VBA宏中構建任務時，旨在獲得快速實用的解決方案。

我們可以通過在Python中實現(xiàn)所描述的貪婪算法來利用它的力量。這使得我們可以有效地應用所定義的規(guī)則來對到達的汽車類型進行著色，即使對于較大的序列也是如此。通過將解決問題的策略轉(zhuǎn)化為代碼，我們可以自動化流程并加快資源使用的優(yōu)化。

將上面的代碼應用于我們的ADEBAFCBDEF序列，我們得到了預期的四種顏色變化。

數(shù)學優(yōu)化

啟發(fā)式求解方法的一種替代方法，如提出的貪婪算法，是數(shù)學優(yōu)化。通過數(shù)學優(yōu)化，我們將視角從規(guī)定規(guī)則以產(chǎn)生解決方案轉(zhuǎn)變?yōu)榫_定義和描述我們試圖解決的問題。通過數(shù)學公式化問題，我們可以以嚴格的方式闡明目標、約束和決策變量。這種方法使我們能夠較系統(tǒng)地探索問題空間，利用數(shù)學技術有效地確定較佳解決方案。

下面，您將找到二進制油漆店問題的數(shù)學表示，為此我們設計了貪婪算法：

要理解數(shù)學優(yōu)化的重要性，特別是與使用啟發(fā)式方法相比，您不需要閱讀甚至理解數(shù)學模型的細節(jié)，您可以直接跳到結果。但是，如果您對模型公式感興趣，這里有一個簡短的解釋。

第一步，我們引入兩個不同的集合：I和J。集合I包含我們序列中的所有位置，按順序編號，而集合J包含每個一的車輛類型，由字母A到F表示。

為了定義到達噴漆車間的車輛類型的順序，我們引入集合(i,j)∈IJ。該集合中的每個元素對應于序列中的特定位置i，指示哪種車輛類型j∈j到達該點。對于我們的ADEBAFCBDEF序列，(1,A):IJ表示到達位置i=1的汽車類型j=A，以及(2,D):IJ*到達位置i=2的汽車類型j=D,依此類推。

在我們的數(shù)學符號中，Xi體現(xiàn)了**決策過程。它代表了在我們的序列中關于位置i∈I所使用的顏色的選擇。例如，X3=1表示將位置3處的車輛漆成黑色，而X3=0表示使用白色?？刂莆覀兊耐垦b車間問題的基本規(guī)則是，每個車輛類型j∈J必須被精確地涂一次黑色。

因此，對于每個車輛類型j∈J，我們在(i,j)∈IJ上的所有Xi上求和，并強制該和恰好為1，以確保遵守由方程( 2 )表示的規(guī)則。

例如，對于序列ADEBAFCBDEF，從該規(guī)則導出的方程如下所示：

為了確立我們的目標，我們的目標是盡量減少序列中的顏色變化數(shù)量。這一目標是通過檢查我們序列中的每個位置i∈I并評估其后續(xù)位置i+1是否指代不同的顏色來實現(xiàn)的，如方程（1）所示。當Xi?Xi+1等于1或?1時，這意味著顏色的變化，使我們的目標增加1。相反，差值為零表示沒有顏色變化。

我們的首要目標是較大限度地減少顏色變化的總數(shù)，因此有必要將我們的目標定義為較小化函數(shù)。有了問題的精確數(shù)學表示，我們可以使用現(xiàn)成的優(yōu)化求解器來解決我們的油漆車間問題，并在數(shù)學上證明了它的較優(yōu)性，這保證了在我們的問題的約束范圍內(nèi)不存在較優(yōu)解。

較佳解決方案

在解決優(yōu)化問題后，我們獲得了顏色變化的較佳數(shù)量，在我們的例子中得到了值2。此外，我們推導了導致下面有色序列的決策變量Xi的較優(yōu)值：

過渡到現(xiàn)實世界的挑戰(zhàn)：多車噴漆車間問題

在我向觀眾展示二元噴漆車間問題經(jīng)驗時，經(jīng)常會有精明的人從后面開始給給定的序列著色，較終得出兩個顏色變化的較優(yōu)解。這一觀察結果提供了有**的見解：當以啟發(fā)式的方式解決問題時，在*了達成解決方案方法的情況下，可能有多種可行的解決方案途徑。此外，這些解決方案之間可能存在很大差異。然而，關鍵問題仍然存在：

我們?nèi)绾伪鎰e達成解決方案的較有效方法？

需要注意的是，從后面開始只對這個特定的序列有效。此外，重要的是要記住，這里討論的例子是對現(xiàn)實世界問題的簡化。事實上，我們處理的是一個較大的到達汽車類型序列，其中每種類型可能到達任何次數(shù)。此外，我們必須滿足每種類型的汽車數(shù)量的具體要求，哪些汽車需要涂成白色和黑色。

我們可以很*地調(diào)整Greedy算法，以滿足特定的顏色需求：

對長度為128的到達車輛類型的隨機序列運行上述代碼，得到31種顏色變化的著色結果。

現(xiàn)在，讓我們繼續(xù)調(diào)整我們的數(shù)學模型，以適應現(xiàn)實情況的復雜性。

值得注意的是，我們在自適應的數(shù)學模型中保留了相同的目標函數(shù)（方程（1）與方程（4）相同）。然而，為了適應顏色需求，我們引入了兩個新的約束條件。首先，通過將等式（2）中的等式約束替換為等式（5）中對黑色車型的需求，我們確保d_j^black車輛被漆成黑色。其次，為了解決對白色汽車的需求，我們使用了與黑色汽車類似的方程式（方程式（6）），但總和**過1?Xi。

在解決我們的適應模型后，我們得出了只需要11種顏色變化的解決方案。

通過在我們的例子中使用數(shù)學優(yōu)化，我們觀察到關于顏色變化的決策有了顯著的改進。這種增強意味著減少了顏色更改所需的時間，提高了資源利用率，并可能在給定的時間范圍內(nèi)降低成本或提高生產(chǎn)力。

轉(zhuǎn)換到其他問題類型

數(shù)學優(yōu)化追趕了二進制噴漆車間問題的范疇，展示了它在各種問題類型中的有效性。雖然我們討論的問題相對簡單，但數(shù)學優(yōu)化使我們能夠有效地解決大型復雜的現(xiàn)實問題。它的應用橫跨不同的領域，包括農(nóng)業(yè)、物流、調(diào)度、能源系統(tǒng)等。

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